Polinomios de Taylor

La aproximación lineal de una curva y =f(x) cerca del punto (x_0,y_0) es su tangente, cuya ecuación calculamos como

y - y_0 = m_T(x - x_0)

donde m_T = f'(x_0) es la pendiente de la tangente en x_0 y y_0=f(x_0):

tangente

Sustituyendo

y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0

o bien

L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).

Esta función L es un polinomio de grado 1: fácil de manejar aunque solo puede aproximar a la función de manera limitada. ¿Qué pasa si queremos una mejor aproximación? Con un polinomio P de grado 2 por ejemplo.

parabola

Deseamos entonces que P se parezca a f en el siguiente sentido:

  1. P(x_0) = f(x_0)
  2. P'(x_0) = f'(x_0)
  3. P''(x_0) = f''(x_0)

Observa que L(x) = a + b(x-x_0) donde a=f(x_0) y b=f'(x_0) ya cumple 1. y 2. (verifícalo).

Para facilitar los cálculos podemos pensar que   P(x) = a + b(x - x_0) + c(x - x_0)^2.

  • Demuestra que en este caso c= \frac{f''(x_0)}{2}.

En general, un polinomio de Taylor aproxima a f cerca de $x_0$ y tiene la forma

P_n(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

donde n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdots n

Por ejemplo, para f(x) = e^x y x_0 = 0, $latex  f(0) = e^0 = 1$, f'(0) = e^0 = 1, f'''(0) = e^0 = 1, etc. Así que

P_4 = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}

exp_Taylor

  • Encuentra y grafica los polinomios $P_1, P_2, P_3, P_4$ para x_0 = 0 y f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (el coseno hiperbólico o cosh).

5 comentarios to “Polinomios de Taylor”

  1. américa Says:

    p_1(x)=1
    P_2(x)=1+x´2/2
    P_3(x)=1+x´2/2
    p_4(x)=1+x´2/2+x´4/24

    Es correcto?

  2. américa Says:

    P_1(x)=1
    P_2(x)=1+x^2/2
    P_3(x)=1+x^2/2
    P_4(x)=1+x^2/2+x^4/24

  3. calculodifeint Says:

    Si (pero no se lo digas a nadie).

  4. javier Says:

    no sé ayudame

  5. Javier Says:

    no estoy de acuerdo

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