La Jornada: El país desde abajo Apuntes de mi gira por México

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Aquí hay algunas celdas del panal de una colmena:

Vista superior

perspectiva

3D

armado de celdas

busca las tuyas.

En una colmena, cada celda es un prisma hexagonal regular, con un extremo abierto y otro formado por tres caras convergentes. Se cree que de esta forma las abejas minimizan la superficie requerida para almacenar un volumen fijo de miel, utilizando así menor cantidad de cera. Si es el ángulo que forma la línea vertical que pasa por el centro de la celda y cada una de las caras del fondo, la superficie de la celda es

donde es la longitud de los lados del hexágono y la altura de la celda. La altura y longitud las consideramos constantes mientras que  es variable.

¿Como deben acomodar las abejas estas celdas para ser eficientes constructoras?

• Calcula

• ¿Qué  ángulo minimiza ?

• ¿Cuál sería la superficie para esta (en términos de y )

Nota: Este proyecto está muy fácil, al rato subo el diagrama.

La aproximación lineal de una curva cerca del punto es su tangente, cuya ecuación calculamos como

donde es la pendiente de la tangente en y :

Sustituyendo

o bien

.

Esta función es un polinomio de grado 1: fácil de manejar aunque solo puede aproximar a la función de manera limitada. ¿Qué pasa si queremos una mejor aproximación? Con un polinomio de grado 2 por ejemplo.

Deseamos entonces que se parezca a en el siguiente sentido:

Observa que donde y ya cumple 1. y 2. (verifícalo).

Para facilitar los cálculos podemos pensar que   .

• Demuestra que en este caso .

En general, un polinomio de Taylor aproxima a cerca de $x_0$ y tiene la forma

donde

Por ejemplo, para y , $latex  f(0) = e^0 = 1$, , , etc. Así que

• Encuentra y grafica los polinomios $P_1, P_2, P_3, P_4$ para y (el coseno hiperbólico o ).

La figura muestra la trayectoria del aterrizaje de un avión.

1. La altura al iniciar el descenso es y la distancia horizontal a la pista es .
2. El piloto debe mantener la velocidad horizontal constante durante el descenso.
3. El valor absoluto de la aceleración vertical no debe pasar de una constante (menor que la gravedad ).

En cuentra un polinomio de tercer grado que cumpla la condición 1) mediante condiciones adecuadas (suavidad por ejemplo) en y tanto en el inicio como en el fin del descenso.

Usando 1) y 2) muestra que

Si mi/hora, pies y mi/hora,

¿ a qué distancia del aeropuerto ( ), debe el piloto empezar el descenso ?

Traza la gráfica.

Para construir una motaña rusa se opta por conectar dos tramos rectos:

L1(x)  = 0.8x + b1

L2(x) = -1.6x + b2

a una parábola

f(x) = ax2 + bx + c

donde tanto x como f(x) se miden en pies (sistema anglosajón).

Para que el recorrido sea uniforme, no puede haber cambios abruptos en la dirección, así que las rectas L1 y L2 deben ser tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q.

Si la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies:

1. Escribe las ecuaciones (condiciones) en los parámetros a, b y c para que la transición sea suave.
2. Resuelve el sistema para determinar la parábola.
3. Dibuja L1, L2 y f ilustrando la solución.
4. Encuantra la diferencia en elevación de P y Q.

Hola,

el que no busca no encuentra ¿cierto? Pues bien, buscando encontré una gran bitácora con ejercicios resueltos de una manera clara y sencilla. Y . . . ¿cual es ese sitio? R= Cálculo21-Matemáticas por Juan Beltrán. Un ejemplo destacable del desarrollo de recursos para la educación.

P.D. No dejen de contribuir con sus propios ejercicios (como los vistos en clase, por ejemplo).

Derivada

La derivada de una función y=f(x) nos proporciona la pendiente de la recta tangente en el punto (x,y), como estas tangentes cambian conforme x lo hace, la derivada también es una función de x, dy/dx = f’(x).

Aquí está la tarea correspondiente a los temas de Límites y Continuidad de funciones de una variable.

Pronto agregaré comentarios.

Hola,

he decidido darle su lugar a las entradas referentes a los materiales de apoyo para el curso, de modo que ahora están en la página recursos de esta bitácora. A cabo de subir por ejemplo, un texto de cálculo muy completo. Revisa por ejemplo la sección 1.5 sobre Límites. Pronto subiré otra lectura al respecto.

Saludos