Archivos de la categoría ‘Proyectos’

La colmena

Noviembre 14, 2008

En una colmena, cada celda es un prisma hexagonal regular, con un extremo abierto y otro formado por tres caras convergentes. Se cree que de esta forma las abejas minimizan la superficie requerida para almacenar un volumen fijo de miel, utilizando así menor cantidad de cera. Si \theta es el ángulo que forma la línea vertical que pasa por el centro de la celda y cada una de las caras del fondo, la superficie de la celda es

A=6sh - \frac{3}{2}s^2 \cot \theta + (3s^2\sqrt{3}/2) \csc \theta

donde s es la longitud de los lados del hexágono y h la altura de la celda. La altura y longitud las consideramos constantes mientras que \theta  es variable.

¿Como deben acomodar las abejas estas celdas para ser eficientes constructoras?

  • Calcula \frac{dA}{d\theta}
  • ¿Qué  ángulo minimiza A?
  • ¿Cuál sería la superficie para esta \theta (en términos de s y h)

Nota: Este proyecto está muy fácil, al rato subo el diagrama.

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Polinomios de Taylor

Noviembre 6, 2008

La aproximación lineal de una curva y =f(x) cerca del punto (x_0,y_0) es su tangente, cuya ecuación calculamos como

y - y_0 = m_T(x - x_0)

donde m_T = f'(x_0) es la pendiente de la tangente en x_0 y y_0=f(x_0):

tangente

Sustituyendo

y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0

o bien

L(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0).

Esta función L es un polinomio de grado 1: fácil de manejar aunque solo puede aproximar a la función de manera limitada. ¿Qué pasa si queremos una mejor aproximación? Con un polinomio P de grado 2 por ejemplo.

parabola

Deseamos entonces que P se parezca a f en el siguiente sentido:

  1. P(x_0) = f(x_0)
  2. P'(x_0) = f'(x_0)
  3. P''(x_0) = f''(x_0)

Observa que L(x) = a + b(x-x_0) donde a=f(x_0) y b=f'(x_0) ya cumple 1. y 2. (verifícalo).

Para facilitar los cálculos podemos pensar que   P(x) = a + b(x - x_0) + c(x - x_0)^2.

  • Demuestra que en este caso c= \frac{f''(x_0)}{2}.

En general, un polinomio de Taylor aproxima a f cerca de $x_0$ y tiene la forma

P_n(x)=f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2}(x-x_0)^2 + \ldots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n

donde n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdots n

Por ejemplo, para f(x) = e^x y x_0 = 0, $latex  f(0) = e^0 = 1$, f'(0) = e^0 = 1, f'''(0) = e^0 = 1, etc. Así que

P_4 = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}

exp_Taylor

  • Encuentra y grafica los polinomios $P_1, P_2, P_3, P_4$ para x_0 = 0 y f(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} (el coseno hiperbólico o cosh).

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Diseño de una montaña rusa

Noviembre 1, 2008

Para construir una motaña rusa se opta por conectar dos tramos rectos:

L1(x)  = 0.8x + b1

L2(x) = -1.6x + b2

a una parábola

f(x) = ax2 + bx + c

donde tanto x como f(x) se miden en pies (sistema anglosajón).

Para que el recorrido sea uniforme, no puede haber cambios abruptos en la dirección, así que las rectas L1 y L2 deben ser tangentes a la parábola en los puntos de transición P y Q.

Si la distancia horizontal entre P y Q es 100 pies:

  1. Escribe las ecuaciones (condiciones) en los parámetros a, b y c para que la transición sea suave.
  2. Resuelve el sistema para determinar la parábola.
  3. Dibuja L1, L2 y f ilustrando la solución.
  4. Encuantra la diferencia en elevación de P y Q.

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